第三十二卷 第三期 - 2020年三月六日 PDF
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量子纏結系統的低秩逼近
Moody T. Chu1, 林敏雄2,*
1 北卡羅來納州立大學數學系
2 國立成功大學數學系暨應用數學研究所
 
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量子纏結簡介與數學模型

子纏結是一種奇妙的現象,其在量子資訊學中起著至關重要的作用[1,2,3,4,5,6]。該現象演示了兩兩粒子或粒子組如何生成、交互或共用屬性,進而當其中一個粒子產生變異會立即造成其它粒子的特徵變異。簡而言之,我們可以想像,介於粒子之間有一個神秘的通信通道,它能快速的轉發資訊其速度甚至比光速還要快。在研究上,我們透過適當選取的複數空間基底來表示該量子態。如此一來,我們可以利用子系統密度矩陣之間的克羅內克乘積來表達量子力學中的纏結現象。並針對纏結的性質考慮以下的低秩近似問題:

                         ①

其中 * 表示共偶轉置,⨂ 代表克羅內克乘積,而 ρ ∈ Cmn×mn 為正定矩陣。

困難點

值得一提的,量子纏結所引發的低秩近似問題①與傳統的張量近似問題是完全不同的,理由如下:
❶克羅內克乘積會造成問題結構的扭曲進而破壞原有的多線性結構。因此,我們無法透過著名的最小平方法來逐次進行局部優化。
❷量子特性需透過複變數函數才能正確表達,因此問題①可視為在複數空間所進行的實優化問題。
❸在問題①中,好的低迭近似需對原問題的秩進行一個合理的估算,即提出一個合理的k值來進行逼近。此外,推得的子狀態需進行凸組合來保持各態之間的概率分佈。

突破

為了同時解決上述問題,我們利用動態系統模型建構出新型演算法,該算法能直接在複數空間中處理問題①所引起的優化問題。簡而言之,該算法是透過投影梯度流和維廷格(Wirtinger) 微積分所提供的技巧來進行問題優化。在理論上,該算法概念簡潔明瞭,並在數值上具有以下特性: ❶全局收斂、❷組合係數θr滿足概率分佈、❸能夠通過動態調整k值來估算問題①所需要的最優低秩。

參考文獻:
1. C.H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres, “Teleporting an unknown quantum state via dual classical and Einstein-Podolsky-Rosen channels,” Phys. Rev. Lett., 70 (1993), pp. 1895--1899.
2. A. K. Ekert, “Quantum cryptography based on Bell's theorem,” Phys.Rev. Lett., 67 (1991), pp. 661--663.
3. M. Hayashi, “Quantum information theory,” Graduate Texts in Physics, Springer-Verlag, Berlin, second ed., 2017.
4. M. Melucci, “Introduction to information retrieval and quantum mechanics,” vol. 35 of The Information Retrieval Series, Springer, Heidelberg, 2015.
5. R. Raussendorf and H. J. Briegel, “A one-way quantum computer,” Phys. Rev. Lett., 86 (2001), pp. 5188--5191.
6. M. M. Wilde, “Quantum information theory,” Cambridge University Press, Cambridge, second ed., 2017.
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