第二十卷 第五期 - 2011年十一月四日 PDF
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考量預防保養之雙構面保固政策
黃宇翔*、顏嘉
國立成功大學管理學院工業與資訊管理學系
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品老化衰退是在可靠度分析中的一個重要的課題。當處理可靠度分析中的產品衰退問題時,若只考慮產品使用時間或年齡的影響,則其分析結果可能會無法令人滿意。事實上,使用程度往往是另一個引起產品衰退的重要因子。建構一個同時考量使用時間與使用程度的衰退性產品之雙構面保固模式會更容易被製造商與顧客所接受。本研究考量預防性維修之雙構面保固模式以制定最大化製造商利潤的最佳保固政策。此雙構面保固模式能幫助製造商提出以使用年限或以使用程度的保固方案給顧客選擇。

假定非齊次普瓦松分配(NHPP)可以用來模式化產品的衰退過程,而其衰退狀況同時與T(t)以及X(t)有關,其中T(t)表示累積使用時間,X(t)表示使用程度。為了簡化說明,我們假定產品年齡即是其累積使用時間,意即T(t)=t。此處最小化維修的概念表示產品在維修後的狀況與維修前未故障的狀況一樣好,而可忽略的維修時間表示所有的產品故障可以在一個相對極小的時間週期內維修完成。我們定義r為累積使用程度除以時間之比,即,因此非齊次普瓦松分配的機率密度函數可以表示成λ(t|r)=φ(X(t),t)。如何決定一合適之雙構面T(t)及t之保固限制KL的保固政策,以使得製造商有最大化的總利潤是需要的。令Ω為這兩個政策的集合,意即Ω={K,L}。當產品達到總使用年齡K或使用程度L時,則保固終止。下圖一表示雙構面保固政策。
圖一 雙構面保固政策

由圖一可見,保固終止發生在達到年齡上限K或達到使用程度L。在此有兩個可能達到保固終止的情形:(1)當0<r 時,保固在時間K上終止。;(2)當 <r<∞時,保固在時間S終止,相當於達到了使用程度L。值得注意的是表示使用程度除以年齡之平均比率,其數值可從過去經驗或是相關保固報告獲得。根據過去文獻,假定λ(t|r)θ01r2T(t)+θ3X(t),其中θ0,θ1,θ2,θ3為確然值。因此,當0<r 時,保固在時間K上終止,而期望保固成本則可以表示成:
,
(1)

其中Cr表示當失效發生時的維修成本,表示在時間週期[0, K]內的期望失效個數。當<r<∞時,保固在時間S終止,其中S=,因此期望保固成本可以表示成:
,
(2)

其中表示在時間週期[0, S]內的期望失效個數。

在政策Ω={K,L}之下,總期望保固成本為上述兩式(1)、(2)的總合。意即包含了在0<r<∞下全部可能的情境,以C(Ω)=ECr1+ECr2表示之。然而,r在不同個別顧客間是不同的,其常常視為一個服從分配G(r)的隨機變數,而其數值可由調查顧客的保固報告所取得。因此,總期望保固成本可以表示成

因此,對於預防保固及價格與保固彈性合適的評估後,最佳保固政策可以經由考慮潛在收益及事先推導出的期望成本所得到。

汽車工業一直是個常常被當作測試雙構面保固政策的研究對象。假定行銷人員從汽車製造商所得到的價格彈性以及保固彈性數值分別為 η=-2.2 以及 ζ=1.85 。再假定我們更進一步地得到汽車期望總銷售量為q=2,000,000。當保固政策的需求為一個函數時,製造商將會很有興趣地去找出一個可以在此期望總銷售數量下之最大化製造商收益的雙構面保固政策。在我們的例子之中,我們設定ru=2.24 and rl=0.16,其中r是一個服從平均數為1.2,變異數為0.36的均勻(uniform)分配。這些參數設定是務實的,在一般情形下,駕駛人在正常使用習慣下的總millage大約為8,000~15,000哩/年。此外,當r服從咖瑪(Gamma)或對數常態(lognormal )分配時,我們令α=4.00,β=3.33,μ=0.07,σ=0.47來確保此兩個分配的平均數、變異數與前述的均勻分配相同。而失效函數假設為λ(t|r)=0.1+0.2r+(0.3+0.3r)t,時間減少因子δ(m)=(1+m)e-m在我們所選定的預防保養等級m=1.2之情境下,其值為0.66。此外,我們假定周期性的預防保養區間為三個月,意即τjj-1=0.25。為了求得最佳的雙構面保固政策以及估計其相對應的期望總收益、固定成本、維修成本、生產成本,我們將其設定為F=150,000,000;Cr=140;Cm=15,000;表一顯示了在均勻、咖瑪、對數常態分配下之數值結果。
表一 均勻、咖瑪、對數常態分配下之數值結果

由計算結果得知在均勻、咖瑪、對數常態分配下之保固上限的數值最佳解分別為(7.04 年 84,483 哩),(2.46 年 或 29,525 哩),(3.63 年 或 43,567 哩)。然而,為了遵從汽車工業的慣用標準,上述最佳雙構面保固政策的數值將分別以半年及5,000哩為基準單位。此外在經由計算後,我們可以得到在均勻、咖瑪、對數常態分配下之最佳訂價以及總收益分別為($23,231, $15,337,528,768),($23,201, $15,317,312,945),($23,241, $15,344,272,703)。這三組數據十分的相似,因此汽車工業的管理者可以將售價訂在$23,000,以及他們將可得到大約$15,000,000,000的總收益。

觀察表一可以發現,此目的為最大化製造商的收益之最佳保固政策,其數值在均勻分配上明顯的與其他兩個分配不同;然而在訂價以及總收益的部份,這三個分配的數值又頗為相似。我們認為其可能的原因為咖瑪、對數常態分配的分配圖形比起均勻分配更為右偏。圖二表示了在變動的r值下,機率密度函數服從uniform (2.24,0.16),gamma (4.00,3.33),lognormal (0.07,0.47)之圖形。
圖二 uniform(2.24,0.16),gamma (4.00,3.33),lognormal (0.07,0.47)之機率密度函數圖形

由圖二得知,比起均勻分配,咖瑪與對數常態分配的長右尾部份顯示了顧客有多出大約1/4的r值。由於高度里程數的駕駛者增加了在保固期內許多所需保養成本之車的數量,因此他們提高了相當多地保固成本。因此,為了保持住有收益的部份,假如製造商相信他們的顧客之r值是服從咖瑪或對數常態分配,則製造商必須提供更有約束力的保固政策。接著探討咖瑪與對數常態分配之差異,將兩者與均勻分配進行比較,咖瑪分配相較於對數常態分配,在右尾與左尾的部份有著更多的區塊。這表示在同一種保固政策下,對於服從對數常態分配的一群顧客之保固政策,會比起服從咖瑪分配的顧客之保固政策稍微具有吸引力。

本研究解決了同時考量使用年齡與使用程度的衰退性產品之雙構面保固問題。我們假定此呈現接續失效過程的衰退性產品服從非齊次普瓦松分配,而在預防保養方面,我們決定了最佳保固政策以最大化製造商的收益。本研究提出的模式,可幫助製造商決定如何提供顧客一個包含適合的使用年限以及使用程度的雙構面保固政策。
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