第五卷 第五期 - 2008年八月十五日
量子態躍遷之非線性動力學
楊憲東*,韓相宜,蕭飛賓


標準大小   字體放大

對於量子粒子於不同特徵態間之躍遷行為,以機率詮釋描述量子系統的量子力學,僅能提供粒子於其特徵態出現機率密度來描述之。本研究利用漢彌爾頓力學於複數空間之表述,亦即複數力學(complex mechanics),或稱量子漢彌爾頓力學(quantum Hamilton mechanics),以古典因果論描述量子態之躍遷行為。透過如複數軌跡、總位勢能、總能量等量化指標的連續性變化,可清楚地描述粒子如何由一特徵態經過糾纏態,躍遷至另一特徵態之轉變過程,提出其非線性運動行為之古典描述,此為量子力學之機率詮釋所無法描述的。本篇將針對氫原子電子從1s狀態躍遷至2s狀態的過程,分析其非線性動力行為。

複數力學簡介
傳統量子力學以機率詮釋來描述量子系統,對於粒子之切確位置、動量等資訊都只能透過算符(operator)對其取期望值來描述之。吾人可以想像坐在一間沒有窗戶的小房子,屋內有一隻蜜蜂,其有特別的超能力,可以穿牆而出。而當蜜蜂飛出房子時,吾人無法穿牆而視,而得知蜜蜂此時飛行的路徑,直到蜜蜂由外穿牆飛入時,吾人才又看到他突然出現在眼前。若當蜜蜂反覆穿牆進出,吾人在房間內只能看到蜜蜂時而出現、時而消失,而且對於蜜蜂下一次由何處穿牆進入房間也不得而知。於是,在此情況下,吾人只能說在此房子內,蜜蜂來來去去,飛到身上被牠叮到的機率有多少。除此之外,不能在蜜蜂穿牆而入前預測蜜蜂出現的位置。此即是量子力學對於量子系統所能提供的機率詮釋。

今倘若吾人將此房子的牆均換成玻璃牆,對於屋外之情景則是一目瞭然,此時儘管蜜蜂可以穿牆而出到了屋外,吾人還是可以看見蜜蜂飛行路徑,更可以知道蜜蜂何時會穿牆而入,且可以掌握其飛進的位置、速度、方向。如此一來,吾人對於蜜蜂可以用古典力學描述其運動,而不需透過機率取期望值。事實上,吾人居住的世界,就是在此屋內,是為實數空間;而屋外的空間卻是虛數的空間,唯有像原子這般大小的粒子,可以穿牆而過,跑到屋外,到這個虛數的空間。複數力學則是扮演著玻璃牆的角色,將漢彌爾頓力學從實數空間延伸至複數空間,如此一來,透過複數力學,如同完全在實數空間之古典力學操作一般,吾人可以得知粒子的完整運動資訊,如粒子軌跡、動量、作用力、位勢能以及總能量等,而無須使用機率。

透過複數力學,量子世界將其神秘面紗揭露於世人。首次,吾人可以透過因果詮釋的方式描述量子世界。在過去的幾年中,本文第一作者已經利用複數力學解釋與詮釋了許多量子現象,如物質波的形成1、氫原子電子殼層分佈2、粒子的穿隧效應與多路徑積分3,4、電子自旋動力學5,11,12、電子散射軌跡6、量子運算子的由來7,8、複數空間粒子運動9,10以及量子混沌現象13等。而此複數空間的概念,從薛丁格方程式可窺知:
(1)

吾人可發現,於方程式中出現虛數i此一符號,並且透過此方程式所解出的波函數亦為複數函數。但在過去百年間,科學家一直將此符號認知為數學操作工具,不具有實際物理涵義,於是透過機率詮釋,得到實數的期望值,ψ*ψ。然而,透過對波函數的轉換,ψ=exp(iS/ħ),於(1)式中,吾人可得與古典力學中的Hamilton-Jacobi (H-J)方程式相仿的量子H-J方程式:
(2)

其中,括號內即是量子漢彌爾頓 H
(3)

其中的第三項是量子位勢(quantum potential)
(4)

若不考慮量子位勢這一項,上述的量子漢彌爾頓立即成為古典漢彌爾頓。由於量子位勢 的存在,使得漢彌爾頓具有複數的形式。於是,吾人知道複數形式的產生實際上均是源自薛丁格方程式(1)。

在古典力學中,漢彌爾頓 Hc 只和其外加位勢 V(q) 有關;而在量子世界中,量子漢彌爾頓, H(ψ),除了受到外加位勢的影響外,粒子所在的量子狀態 ψ 亦決定著。透過波函數 ψ(q),吾人可以由(2)式得到動量為 p=∇S,或寫成如下的分量形式:
(5)

如所預期的,由(2)式所得到的動量是屬於複數的形式。根據(3)式的量子漢彌爾頓 H,其相對應的漢彌爾頓運動方程式:
(6a)

(6b)

其中,位置變數 q 以及動量變數 p 為兩個獨立的複數變數。上式提供了粒子在複數空間以及在量子狀態ψ(q)下的運動方程式,揭示著粒子是在複數空間運動,具有複數的軌跡、動量、能量等物理量,並對應著不同的狀態有著不同的運動行為。除了 pq 是定義在複數空間之外,(6)式的形式和求解與古典力學的漢彌爾頓運動方程式完全相同。例如結合(6a)和(6b)二式,吾人可以得到熟悉的牛頓第二運動定律:
(7)

所以吾人可以借助古典力學的既有方法來處理量子力學的問題。

分析與討論
本研究即是透過複數力學,針對粒子於不同狀態間之躍遷行為,提出古典詮釋。利用軌跡、總位勢與總能量的變化,來分析粒子的動態,提出相較於量子力學明確、準確的動態指標。量子態躍遷的模型,可透過方才提到的房子概念描述之。若有兩個房子,沿著山坡而蓋,分落上下的位置。今有一蜜蜂,飛出位於低處的房子,飛往高處的房子,這兩個房子分別表示粒子所處的兩個特徵態,而當蜜蜂於兩個房子間飛行時,即可視為粒子處於兩狀態間之糾纏態(entangled state)。若是由量子力學所提供的房子,這兩個房子是完全不透明的,只要蜜蜂一離開房子,吾人對其運動則完全不可知,也無法預測蜜蜂何時會到達另一房子。而相反地,由複數力學所蓋的玻璃牆房子,不管吾人位於哪個屋子內,均可看到蜜蜂在兩個房子間的飛行路徑,並可得知何時蜜蜂會到達下一個房子。

本文中針對氫原子電子,透過複數力學分析其狀態躍遷之非線性運動情形,並說明考慮粒子於複數空間運動之必要性以及理論預測之完整性。考慮氫原子電子於基態(1s)與第一激發態(2s)間之躍遷情形。吾人選用波函數如下:
, t ≤ 0
, 0 < t < π/(2ω)
, tπ/(2ω)
圖1 氫原子電子於基態(藍色線)與第一激發態(紅色線)間之躍遷情形

其中 ψ100=e-r/a0ψ200=(2-r/a0)e-r/a0 分別為基態與第一激發態之波函數。透過(6a)式與(3)、(4)式,吾人可得電子的運動方程、總位勢以及總能量之方程式。吾人可以參見下圖所得之模擬結果。其中圖1a表示電子於兩個狀態的機率密度情形。藍色線表示電子於1s狀態之機率密度 ,其隨著躍遷開始而遞減,直到電子完全處於2s狀態時(其機率密度 為 1,由紅線表示),則遞減為0,表示電子完成從1s能階態躍遷至2s能階態(其中 ),為無因次化時間,)。圖1b呈現透過對電子的運動方程的積分,
, ,
(8)

所得到的躍遷軌跡變化。時間從0開始到時間為 π/4 (以 計算出之躍遷時間)時,電子由1s能階態變化至2s能階態,透過其於糾纏態之軌跡與兩個特徵態的軌跡平滑的連結可表示電子於躍遷糾纏態之軌跡,是為兩特徵態間之軌跡橋樑。圖1c表示電子於氫原子內受到的總位勢能之變化,其可從

(其中 ρ=r/a0 是無因次化半徑)得知,電子所受到的總位勢能如何從1s圓形殼層變化至具有兩個殼層之2s特徵態,使得電子的運動從在1s位勢能殼層平面上變換到2s位勢能殼層平面上。從此總位勢能變化圖亦可得知,若電子於1s狀態中的運動位置在 ρ < 2 時,則其會躍遷至2s狀態中的總位勢能分布之第一殼層內,而不會跑到第二殼層。

圖1d為電子所具備之總能量表示圖,總能量可由 得知。吾人可以看到其總能量從處於1s中所具備的 ,透過電子的糾纏態,於 0 < t < π/(2ω) 的時間內,轉變成為2s狀態所具備的能量 。吾人需注意的是,透過複數力學所求得的實際電子能量是為複數,但當電子處於特徵狀態下,其所具備的總能量則剛好是實數,此即為特徵方程式的特徵根。所以,將薛丁格方程式視為一特徵方程式時,所得到的實數特徵根即為實數的總能量。因此,量子力學所處理的量子系統,只針對其實數特徵根,為總能量的其中一部分,此導因於實驗所觀察之結果,均為實部世界所能量測到的實數量值(亦即在不透明的房間中,只能觀察到在房間內飛行的蜜蜂,而無法觀察其在屋外的情形),但薛丁格方程式則是一複數方程式,包含了更多的資訊未被量子力學所萃取。有關其他學者提出複數漢彌爾頓的相關研究可參見14,15,16,17

而在玻姆力學(Bohmian mechanics)中,其量子位勢只針對實部空間做討論,忽略了其虛部部分的量值,造成其理論對於一些量子系統描述上的錯誤。如玻姆力學無法描述氫原子電子於特徵狀態下的運動情形,因為其所推導的運動方程式在實數特徵態下,變成 p=∇S=0,使得其所得到的粒子於特徵態下無運動可言,此即為波姆只考量實部的量子位勢之結果。換句話說,沒有透明玻璃的房子,是無法得到蜜蜂於屋外飛行的正確路徑的,亦及對應到量子力學與玻姆力學均無法窺知量子世界的全貌。而複數力學的複數空間,提供了玻璃牆,亦即提供了更高的維度,來描述粒子實際運動於複數空間之情形,得以知道量子世界之全貌,就如透過複數力學的古典分析,吾人可從軌跡、總位勢能以及總能量等指標,得知氫原子電子是如何從1s狀態躍遷至2s狀態,以及其他量子系統之非線性量子態躍遷之分析。

結論
透過空間維度擴張至複數空間,吾人可以以古典力學描述量子世界。於是,複數力學實為一結合量子力學與古典力學之漢彌爾頓力學,使得吾人可以透過古典力學研究與分析量子系統,對於量子工程上,有極大的貢獻;亦即吾人不需透過需要許多數學操作之量子力學,即可以古典力學的方式,分析量子系統、量子元件以及微奈米科技;透過粒子軌跡、總能量、所受之位勢、作用力,吾人可以預測以及分析粒子之運動情形。因此,複數力學的提出,可以解釋以機率詮釋描述著原子世界的量子力學,其和古典力學格格不入的特性,以及解決科技進步的腳步在原子尺度下,遇到了工程界無法解釋以及解決的困境之窘境。

本研究群目前透過複數力學,將過去牛頓力學之經驗,直接地應用在量子尺度問題上,如量子點、量子井、電子通道、氫分子離子、氨分子以及氫原子電子能階躍遷之控制等之工程分析與應用,可提供更逼近於真實量子運動情況之分析與預測,以期提供奈米科技、量子元件之應用、量子資訊、量子計算之研究等未來量子工程所需之理論分析。於是,複數力學除了在理論架構上之哲理相容,為神秘量子效應提出解釋外,更可引領著科技進步的腳步,突破過去所遭遇之瓶頸。

參考文獻
  • C. D. Yang, “Wave-particle duality in complex space ”, Ann of Phys., (319), 444-470, 2005.
  • C. D. Yang, “Quantum dynamics of hydrogen atom in complex space”, Ann of Phys., (319), 399-443, 2005.
  • C. D. Yang, “Complex tunneling dynamics”, Chaos, Solitons & Fractals, (32), 312-345, 2007.
  • C. D. Yang, C. H. Wei, “Parameterization of all path integral trajectories”, Chaos, Solitons & Fractals, (33), 118-134, 2007.
  • C. D. Yang, “On modeling and visualizing single-electron spin motion”, Chaos, Solitons & Fractals, (30), 41-50, 2006.
  • C. D. Yang, “Solving quantum trajectories in Coulomb potential by quantum Hamilton-Jacobi theory”, Int. J. of Quantum Chemistry, (106), 1620-1639, 2005.
  • C. D. Yang, “Quantum Hamilton mechanics: Hamilton equations of quantum motion, origin of quantum operators, and proof of quantization axiom”, Ann of Phys., (321), 2876-2926, 2006.
  • C. D. Yang, “The origin and proof of quantization axiom p=∇ in complex spacetime”, Chaos, Solitons and Fractals, (32), 274-283, 2007.
  • C. D. Yang, C. D., “Modeling Quantum Harmonic Oscillator in Complex Domain”, Chaos, Solitons, & Fractals, (30), 342 – 362, 2006.
  • C. D. Yang, “Quantum Motion in Complex Space”, Chaos, Solitons & Fractals, (33), 1073 -1092, 2007.
  • C. D. Yang, “Complex spin and anti-spin dynamics: A generalization of de Broglie-Bohm theory to complex space”, Chaos, Solitons & Fractals, (38), in press, 2008.
  • C.D. Yang, “Spin: The Nonlinear Zero Dynamics of Orbital Motion”, Chaos, Solitons and Fractals, (37), 1158, 2008.
  • C.D. Yang, and Wei, C. H., “Strong Chaos in 1D Quantum System”, Chaos, Solitons & Fractals, (37), 988, 2008.
  • N. Hatano, “Non-Hermitian delocalization and eigenfunctions”, Phys. Rev. B (58), 8384 – 8390, 1998.
  • C. M. Bender, J. H. Chen, D. W. Darg, and K. A. Milton, “Classical Trajectories for Complex Hamiltonians”, J. Phys. A: Math. Gen (39) 4219-4238, 2006.
  • S. S. Ranjani, A. K. Kapoor, and P. K. Panigrahi, “Quantum Hamilton-Jacobi analysis of PT symmetric Hamiltonians”, Int. J. Mod. Phys. A (20), No. 17, 4067 - 4077, 2005.
  • A. Mostafazadeh, “Real Description of Classical Hamiltonian Dynamics Generated by a Complex Potential”, Phys. Lett. A (357), 177-180, 2006.
< 上一篇下一篇 >
Copyright National Cheng Kung University