第二卷 第三期 - 2007年十一月十六日
三維幾何與 Wheeler–DeWitt 方程的改寫
許祖斌

成功大學物理研究所
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Classical and Quantum Gravity 24 (2007) 1547-1555

前人們對巨觀的時空結構、以及宇宙如何演化的理解,是基於愛因斯坦(A. Einstein) 的廣義相對論;­量子力學則解釋了基本粒子的微觀世界物理。若能發現一個可以成功結合這兩個二十世紀主要理論的、量子重力理論,足以描述所有尺度、小到如幾何微觀性質、大至宇宙大尺度結構的理論,可望使我們對時空本質產生前所未有的了解。然而,目前所有的嘗試,都未完全成功,物理學家還無法在四維空間下找到統一的理論框架,可以同時滿足量子力學與廣義相對論的要求;至今,微擾量子場論雖然是最完備的物理理論,足以成功地解釋粒子物理標準模型,但直接應用微擾技巧來建構量子重力,會產生無法處理的發散項而數學上不自洽,這稱作不可重整化的問題。

為了克服微擾不可重整化,非微擾量子重力理論的目的是建構一個完全不依賴於背景度規(background metric)的量子幾何。物理學家也認知到,基本作用力必須滿足局域規範不變的原則(Principle of Local Gauge Invariance):也就是說,若在時空上的每一點、都做某種規範變換,物理定律的形式應該保持不變 [1]。因此理論學家引進了規範場,以滿足局域規範不變原則的要求,同時規範場也扮演傳遞基本作用力的角色。廣義相對論,相當不同於其他的基本作用力理論。後者中的時空度規只是外加的參數,用以定量地描述時空的幾何、並度量時空中事件間的距離,理論本身所處理的,是存在於時空裡物質場、與其間之交互作用。但在廣義相對論下,時空度規本身是參與作用的變量:時空改變造成物質分布改變,而物質分布又回頭影響時空結構,非常難以處理。

因為上述種種的考量,Ashtekar 改寫廣義相對論 [2],以規範場與標架Eia (densitized triad,三維度規gij = EiaEja/det(E) 為標架的導出量) 來簡化原本理論中,為了要求廣義座標變換不變的複雜約束條件(constraints),使得物理界對重力理論產生更濃厚的興趣和理解。概念上,若將標架視為 Ashtekar規範場 Aia 的共軛動量(conjugate momentum;在正則理論中,每一個自由度都對應到一組共軛變量,分別稱作正則座標與正則動量),那麼基於度規的幾何動力學、與Ashtekar規範動力學的差異就可被克服。最奧妙的是四維時空下,勞倫茲(Lorentz) 變換群與Ashtekar變量的關聯:也就是只有時空為四維時,勞倫茲變換才有自偶(self-dual)與反自偶(anti-self-dual)的子群;而Ashtekar規範場恰好是限制在三維初始條件平面M,勞倫茲群規範場的自偶或反自偶(±)投影。勞倫茲變換群就是彎曲時空上每一點切空間,即閔氏(Minkowski)空間的對稱群。後來引進到這個框架的重力理論之環圈變量 (loop variable) 、與相關的自旋網絡態 (spin network states,由Rovelli、Smolin等人所提出) 也是重要的進展,他們可以得到離散、且數學上收斂的量子面積算符與體積算符。這些算符的本徵態是自旋網絡態的線性疊加;最初,自旋網絡是由潘洛斯(R. Penrose) 為了研究量子幾何而提出的 [3],而現在自旋網絡已經成為體現環圈量子重力理論的重要工具。可以說,找出精確量子態,並且得到嚴謹結果的關鍵,在於簡化、及改寫古典約束、與對應的量子約束條件。

筆者的文章改寫了四維古典重力理論、即廣義相對論的super-Hamiltonian約束條件、及其對應的量子版本,也就是Wheeler-DeWitt方程式 [4, 5]。Ashtekar以規範場與標架為共軛變量,簡化了廣義相對論的super-Hamiltonian約束條件。筆者注意到Ashtekar寫下的方程又可更簡潔地改寫成,基本守恆量間Poisson對易為零的條件,這使得非微擾量子重力理論中最重要、決定時空量子態,,演化的Wheeler-DeWitt方程可以以新的形式呈現。文中以廣義的框架來討論這些問題,同時考慮不為零的宇宙常數λ。宇宙常數是愛因斯坦為了得到含有物質的靜態宇宙解所引進的;他的重力場方程式中若缺少這一項正的宇宙常數,宇宙將無法抵銷由物質所產生的吸引力而塌縮。雖然後來愛因斯坦後悔引進宇宙常數的決定;但最近超新星的觀測資料又為正宇宙常數的存在提供了有力的支持。

筆者也於文中指出陳-Simons泛函 [6](Chern-Simons functional,由數學家陳省身和J. Simons 首先提出的幾何不變量) 於四維量子重力理論中的重要角色。陳-Simons泛函緊密地聯繫三維和四維量子場論;而以Ashtekar規範場寫下的廣義相對論來看,它更同時包含了內稟 (intrinsic) 曲率與外賦 (extrinsic) 曲率的資訊。相較於量子場論,目前環圈量子重力理論尚未對此泛函做廣泛且深入的探討。但在四維量子重力理論中,Ashtekar規範場的陳-Simons不變量 扮演了關鍵、甚至直接的角色,其重要性不亞於目前環圈量子重力理論中的體積算符。由於這兩種基本泛函:體積算符與陳-Simons不變量,都直接在文中新型式的Wheeler–DeWitt方程中出現。所以這樣的改寫,不僅凸顯了這些規範不變的三維幾何元素,在Wheeler-DeWitt方程中所扮演之角色,同時也具體顯示了這些出現在理論中三維幾何的泛函:體積算符與陳-Simons不變量。依照狄拉克(Dirac) 量子化程序 [7] ,自偶或反自偶Ashtekar變量的Wheeler–DeWitt方程會變成兩種基本泛函的對易子: ,式中Lp為普朗克長度、約為 10-35 公尺,ν2 為標架Eia的行列式 (determinant) 。有三點值得注意: (1) 這還是最廣義的愛因斯坦理論,尚未引進時空特殊的對稱性之假設或簡化,且該式明確地以規範不變的三維幾何元素C[A]來表示。相較於以時空度規表示的量子重力理論,後者的方程 是以抽象的三維幾何元素G表示 [4]:這裡的G僅是符號,代表複雜的時空度規函數,因此之前的量子重力形式,實際上是抽象且不明確的。 (2) 從古典重力理論到量子重力,super-Hamiltonian約束存在著算符順序不確定性 (ordering ambiguities) 的問題:不同的算符順序,代表不同的量子理論,但都對應同一個古典理論。然而,這裡出現之體積算符ν2 與陳–Simons不變量C[A]不但具有明確的幾何意義,並且二者都是純粹以可對易的量子算符所構成,不同的順序是等價的。因此數學上, Wheeler-DeWitt方程一旦表示為如上的形式,那麼就沒有算符順序的問題。(3)由於三維座標變換不變的要求,一般認為量子態必須是三維幾何元素的泛函 [4, 5]。因此即使數學上並不易實現,一般仍然認為最廣義的Wheeler-DeWitt方程,應可直接地以三維幾何元素表示。除此之外,方程也必須在三維初始平面上的任何一點都成立。筆者改寫之Wheeler-DeWitt方程的形式同時滿足了這兩個性質:包含了體積算符 ,與三維幾何陳-Simons泛函C[A],在空間任一點的對易。

Wheeler-DeWitt方程式中的算符不滿足交換律,不同的算符排列對應相同的古典理論,因此算符順序的問題變得很複雜;Gauss Law約束和super-momentum約束雖然看起來有類似的問題,但因為兩者分別只是為了要求正則重力量子態局域SO(3)規範不變、與三維座標轉換不變,所以此困擾可直接以群論的考量來解決。目前並沒有從古典理論推導出相應量子理論的唯一方法,所以需要引進其他要求,以決定正確的算符順序。如要求自洽、甚至有時只是為了數學上的簡化,或要求量子代數的自洽性等;不幸,這些方法可能仍然無法保證,只存在一種從古典推廣到量子的重力理論。甚至當理論引入複數Ashtekar變量,super-Hamiltonian為厄密(Hermitian) 的要求也無法使用。所以,在處理算符對易問題時,常常是基於某些考量地先選定一組特定的算符順序,再來檢驗基於這些算符的量子理論是否矛盾。基於三維幾何的考量,筆者於文中提出一量子約束,其型式為正則變量的多項式泛函。並證明它的量子算符對應到某一特定順序,且富於幾何意義,這些討論將有助於釐清從古典重力到量子重力的算符順序不確定性。

參考資料
  • Yang C N and Mills R L 1954 Conservation of Isotopic Spin and Isotopic Gauge Invariance Phys. Rev. 96 191
  • Ashtekar A 1986 New Variables for Classical and Quantum Gravity Phys. Rev. Lett. 57 2244
  • Penrose R 1971 Angular momentum: an approach to combinational space-time, in Quantum Theory and Beyond ed T Bastin (Cambridge University Press, Cambridge)
  • Wheeler J A 1968 Superspace and the Nature of Quantum Geometrodynamics, Battelle Rencontres: Lectures in Mathematics and Physics ed C M DeWitt and J A Wheeler (Benjamin, New York)
  • DeWitt B S 1967 Quantum Theory of Gravity. I. The Canonical Theory Phys. Rev. 160 1113
  • Chern S S and Simons J 1974 Characteristic forms and geometric invariants, Annals Math. 99 48
  • Dirac P A M 1964 Lectures on Quantum Mechanics (Yeshiva University Press, New York)
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